Mathematische Logik
Was ist ein korrekter mathematischer Beweis?
Diese Frage stellen sich schon viele Schüler und erst recht die meisten Studenten. Die mathematische Logik gibt eine befriedigende Antwort auf diese Frage und klärt damit die Grundlagen der Mathematik.
Gerog Cantor
David Hilbert
Kurt Gödel
Paul Cohen
Die Entwicklung der mathematischen Logik im letzten Jahrhundert wurde wesentlich bestimmt durch zwei Probleme, die David Hilbert im Jahr 1900 an den Anfang seiner berühmten Liste von Problemen gestellt hatte.
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Das erste Problem war die Frage, ob die Kontinuumshypothese richtig ist. Diese besagt, dass es für jede unendliche Teilmenge der reellen Zahlen eine Bijektion auf die natürlichen oder die reellen Zahlen gibt. Sie war schon von Georg Cantor* , dem Begründer der Mengenlehre, als zentrales Problem isoliert worden. Er selbst hat gezeigt, dass es keine Bijektion zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen gibt. Die Antwort, die Kurt Gödel und Paul Cohen auf die Frage nach der Gültigkeit der Kontinuumshypothese im 20. Jahrhundert gegeben haben, ist sicherlich eine, die Hilbert so nicht erwartet hatte. Sie zeigten, dass man die Kontinuumshypothese mit den üblichen Grundannahmen der Mengenlehre weder beweisen noch widerlegen kann.
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In seinem zweiten Problem fragte Hilbert nach einem Beweis für die Widerspruchsfreiheit der klassischen Analysis. Hier zeigte Gödel 1931 in seinem berühmten zweiten Unvollständigkeitssatz, dass es solch einen Beweis nicht gibt. Hierzu waren aber eine große Reihe von Begriffserklärungen notwendig.
*Anmerkung: Unter diesem Link finden Sie auch eine Weiterleitung zu einem Dokumentationsfilm (in englischer Sprache) über Georg Cantor.