Diagonale und Seite eines Quadrates sind inkommensurabel
Aufgabenstellung
Beweisen Sie die Inkommensurabilität von Seite und Diagonale im Quadrat. Geben Sie einen Algorithmus an, mit dem sich das Verhältnis von Seite und Diagonale immer genauer berechnen lässt. Bestimmen Sie das Ergebnis der ersten 7 Iterationsschritte mit dem Taschenrechner.
Algorithmus
Man betrachte das Quadrat der Seitenlänge a und Diagonale d. In diesem trage man a auf d ab, es bleibt Rest a1, den wir wiederum auf a abtragen, um dem euklidischen Algorithmus zu genügen. Dies führt zur Konstruktion eines neuen Quadrates, wobei a1 die neue Seite des neuen Quadrates wird. Dass in der Tat ein neues Quadrat entsteht ist zunächst nicht offensichtlich. Dies folgt aus der Kongruenz der Dreiecke △ ABS und △ ACS, da sie in den Längen zweier Seiten und dem der längeren Seite gegenüber liegenden Winkel übereinstimmen. Diesen Algorithmus führe man weiter. Die so entstandene selbstähnliche Konstruktion bricht nie ab und das Bild verkleinert sich in jedem Schritt.
Created with Cinderella
Beweisen Sie die Inkommensurabilität von Seite und Diagonale im Quadrat. Geben Sie einen Algorithmus an, mit dem sich das Verhältnis von Seite und Diagonale immer genauer berechnen lässt. Bestimmen Sie das Ergebnis der ersten 7 Iterationsschritte mit dem Taschenrechner.
Algorithmus
Man betrachte das Quadrat der Seitenlänge a und Diagonale d. In diesem trage man a auf d ab, es bleibt Rest a1, den wir wiederum auf a abtragen, um dem euklidischen Algorithmus zu genügen. Dies führt zur Konstruktion eines neuen Quadrates, wobei a1 die neue Seite des neuen Quadrates wird. Dass in der Tat ein neues Quadrat entsteht ist zunächst nicht offensichtlich. Dies folgt aus der Kongruenz der Dreiecke △ ABS und △ ACS, da sie in den Längen zweier Seiten und dem der längeren Seite gegenüber liegenden Winkel übereinstimmen. Diesen Algorithmus führe man weiter. Die so entstandene selbstähnliche Konstruktion bricht nie ab und das Bild verkleinert sich in jedem Schritt.
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Entwicklung des Kettenbruches für das Verhältnis Seite-Diagonale
Offenbar gilt
Man erhält folgende Kettenbruchentwicklung:
Dieser Kettenbruch definiert eine neue Zahl: 
Warum ist das eine Kettenbruchentwicklung für 
?
Die ersten sieben Stellen nach dem Komma sind: 1,4142135